2021년도 2월 위상 졸업고사 문제은행
- 작성자 수학교육과
- 작성일 2021-01-28
- 조회수 1741
이 안에서 문제가 나온다고 하니 참고해주시기 바랍니다.
- 2021학년도 위상수학 졸업시험 문제은행-최종.hwp
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Flexer Server <2021년 1차 위상수학 졸업시험 문제은행>
※ 아래 문제 중에서 6문제 정도 졸업시험에 출제합니다.
1. 함수 에 대하여 , 에 대하여 다음을 증명하여라.1)2)3)4)2. 집합 와 위상공간 에 대하여 함수 에 의해 생성된는 위의 위상임을 증명하여라.3. 실수 집합 ℝ위에 보통위상(usual(standard) topology) 에 대하여 함수ℝℝ,에 대하여
라 할 때, 두 집합 , 가 의 원소인지 설명하여라.4. ℝ위에 ℝℝ를 기저(basis)로 갖는 위상을 위상(K- topology)이라 할 때, 상한위상(upper limit topology)과 위상의 포함관계를 설명하여라.5. 두 위상공간 와 에 대하여 부분집합족 을 기저(basis)로 갖는 위상을 위에서의 적위상(product topology)라 한다.1) 가 실제로 의 기저가 됨을 증명하여라.2) 는 위에서의 위상이 아님을 보여라.3) , 는 각각 위로의(onto) 사영사상이며, 가 위에서 적위상에 대한 부분기저(subbasis)가 됨을 증명하여라.6. 를 공집합 와 자연수 ℕ에 대하여 꼴의 ℕ의 모든 부분집합으로 이루어진 집합이라고 하자.1) 는 ℕ상의 위상임을 증명하여라.2) 양의 정수 6을 포함하는 열린집합(open set)을 모두 구하여라.
7. 집합 에 대하여 수열 이 주어졌을 때 다음을 증명하여라.1) 이산위상(discrete topology)이 주어졌을 때, 이기 위한 필요충분조건은 적당한 자연수 가 존재하여 이면 가 되는 것이다.2) 비이산위상(indiscrete topology)이 주어졌을 때, 수열 은 모든 점 로 수렴한다.8. 집합 위에 위상 가 다음과 같이 주어졌다.이 때, 집합 의 도집합(derived set) 을 구하여라.9. 집합 를 의 부분집합이라고 하자. 다음 각 경우에 대하여 폐포(closure) 를 구하여라.1) 상의 이산위상(discrete topology)2) 상의 비이산위상(indiscrete topology)3) 상의 여유한위상(finite complement topology)10. 집합 상의 위상에 대하여 다음을 구하여라.
1) 의 내부(interior)를 구하여라.2) 의 외부(exterior)를 구하여라.3) 의 경계(boundary)를 구하여라.11. 를 실수집합 ℝ의 보통위상(usual or standard topology), 를 구간 에 의새 생성된 ℝ의 상한위상(upper limit topology)이라 하고, ℝ ℝ는일 때 다음을 증명하여라.
1) 는 보통위상 에서 연속이 아니다.2) 는 상한위상 에서 연속이다.12. 에서 정의된 다음의 위상을 정의하자.함수 를 다음과 같이 정의하자.이때, 함수 가 에서 각각 연속인가?13. ℝ 위에 주어진 다음의 위상공간이 연결공간(connected space)인지 설명하여라.
1) 비이산위상(indiscrete topology)
2) 이산위상(discrete topology)
3) 여유한위상(finite complement topology)
14. 보통위상(standard topology)공간 (ℝ, )에서 부분집합 에 대하여1) 컴팩트(compact) 집합인지 설명하여라.
2) 연결집합(connected set) 인지 설명하여라.
15. 다음 물음에 답하여라.
정의) (Hausdorff Space or space): 위상공간 에 대하여, 의 임의의 두 점 에 대하여 가 존재하여 , , 일 때, 를 공간(Hausdorff space)라고 한다.1) 를 ℝ위의 하한위상(lower limit topology)공간이라 할 때, (ℝ, )는 공간(Hausdorff space)임을 증명하여라.2) 가 여유한위상(finite complement topology)공간일 때, 는 공간(Hausdoff space)인지 설명하여라.